SAYILAR
Sayılar, sayı sistemi adı verilen bir sistem ile sınıflara ayrılmışlardır. Bu sistem oluşumuna göre (sırasıyla) :
1) Doğal Sayılar
2) Tam Sayılar
3) Rasyonel Sayılar
4) Gerçel (Reel) Sayılar
şeklinde sıralanabilir.
1) Doğal Sayılar
Genel olarak düşünülecek olursa en sık kullanılan sayı çeşididir. Her insan bazı durumlarda bir şeyler saymak isteyebilir. İşte hemen her insanın kullandığı sayı çeşidi bu sayılardır.
Hepimiz doğal sayıların ne olduğunu sezgisel olarak biliyoruz; 0,1,2,…,m,… Diğer bütün sayı sistemleri doğal sayılar yardımıyla oluşturulmaktadır. Bu yüzden öncelikle bu sayıları tanımlayarak başlayalım:
İlk birkaç tane doğal sayıyı şöyle oluşturabiliriz:
0= Ø
1={0}
2={0,1}
3={0,1,2}
.
.
Başka bir ifadeyle bu sayılar olarak gösterilebilir. Ancak tüm doğal sayıları düşünecek olursak hepsini bu biçimde tanımlamak ilerledikçe daha da zorlaşacaktır. O halde şöyle bir gösterimi kullanabiliriz:
İlk doğal sayının Ø olduğunu ve tanımlanan bir doğal sayısı için bu sayıdan sonra gelen ilk doğal sayının olacağını gördük. Şimdi birkaç tanım yapalım:
Tanım
A bir küme olmak üzere A’nın ardışığı
biçiminde tanımlanan kümesi olsun diyelim.
Bu tanıma göre doğal sayıları olarak alabileceğimiz görülür. Bu yolla istenen m doğal sayısına ulaşılabilir. Fakat bu yöntem doğal sayılar kümesini kurmak için yeterli değildir. Böyle bir kümenin varlığı bu şekilde gösterilemez. Çünkü şimdiye kadar yaptıklarımızla boş kümeyi bulunduran ve bir A kümesini kapsadığında kümesini de kapsayan bir küme var mıdır? sorusu şuan için yanıtsız kalmaktadır.
Tanım
olmak üzere için koşulunu gerçekleyen bir X kümesine ardıllı küme adı verilir.
Bu tanımı verdikten sonra yukarıdaki soruya aşağıdaki “sonsuzluk aksiyomu” ile olumlu bir yanıt verebiliriz:
Aksiyom ( Sonsuzluk Aksiyomu )
Bir ardıllı küme vardır.
Bu aksiyoma göre anlıyoruz ki bir ardıllı küme sonsuz çoklukta öğe içermektedir. O halde diyebiliriz ki doğal sayılar kümesi, bütün ardıllı kümelerin, kümelerdeki kapsama göre, en küçüğü olarak alabiliriz. Bu tanımı yapmadan önce şu teoreme bakalım:
Teorem
Bütün ardıllı kümelerin kesişimi yine bir ardıllı kümedir.
İspat:
Tanım
Bütün ardıllı kümelerin kesişimi olan N kümesine doğal sayılar kümesi denir. N kümesinin elemanlarına da doğal sayılar ismi verilir.
2) Tam Sayılar
Yukarıda doğal sayıları anlatmıştık. Doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlanan bazı denklemlerin çözüm kümeleri mevcut değildir. Örneğin, x bilinmeyen bir sayı olmak üzere x + 3 = 8 denklemini sağlayan x bilinmeyenini belirlemek istersek söz konusu denklemin N üzerindeki çözümü x = 5 olduğu açıktır.
Öte yandan x + 4 = 6 denklemini N içinde çözemeyiz çünkü bu denklemin çözümü olan x bilinmeyeni bir negatif sayıdır ve N kümesinde negatif sayı bulunmadığı için elimizdeki denklemin N kümesinde bir çözümü yoktur. İşte bu sebeple N kümesini genişletme zorunluluğu doğmuştur ki bahsi geçen ve ona benzer denklerim çözümü bulunabilsin.
Her bir doğal sayıyı, iki doğal sayının farkı olarak çeşitli şekillerde yazabiliriz. Örneğin 4 sayısını
4-0, 5-1, 6-2, …
olarak yazabiliriz. Birinci terimden ikinci terimin çıkarıldığı bu ifadelere
(4,0), (5,1), (6,2), …
şeklinde sıralı ikililer karşılık getirecek olursak bu sıralı ikililerin ortak özelliği (a,b), (c,d) gibi herhangi iki sıralı ikili için
a + d = b + c
biçiminde olmasıdır. 4 için yapılan bu işlemin diğer tüm doğal sayılar için de tekrarlanabileceği açıktır. Doğal sayılar için uygulanan bu yöntemi bir adım ileri taşırsak şöyle bir bağıntıyı tanımlamamız gerekmektedir:
Tanım
N x N üzerinde bir bağıntısı için
(a,b) (c,d) a + d = b + c
olarak tanımlansın. N x N üzerindeki bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğu kolayca gösterilebilir. (N x N) / denklik bölükleri kümesine tamsayılar kümesi adı verilir ve Z ile gösterilir. Z’nin [(a,b)] gibi bir denklik bölüğüne de bir tamsayı denir ve kısalık olması açısından
[a,b] = [(a,b)]
gösterimi kullanılabilir.
3) Rasyonel Sayılar
Şimdiye kadar tanımladığımız iki sayı sistemi kimi denklemleri çözmek için hala yetersiz kalmaktadır. Örneğin 5x = 3 denklemini ele alalım. Bu denklemin çözümü ile eşitsizliklerinin ortak çözümünden elde edilir. Bunlardan ilkinin çözümüne Ç* ve diğerine de Ç** diyecek olursak
bulunur. Bulunan bu iki çözüm kümesinin ara kesiti olan olduğuna göre Z içinde 5x = 3 denkleminin çözümü yoktur.
Teorem
Z*= Z\{0} olmak üzere
Z x Z* üzerinde için (m,n) ~ (p,r) m.r = n.p ile tanımlanan ~
