Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.
Çözüm
P(x-1)?i bulmak için P(x)?de x yerine x-1?i yazalim.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 ? 2x + 1 + 2x ? 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.
II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazip x yerine x-1?i yazalim.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.
Örnek
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 ? 2x2 + 4 esitligi veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.
Çözüm
P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 esitliginde
h ?2 = x?i yerine yazalim.?H = x + 2
P(h ? 2 + 2) = (h ? 2)3 ? 2(h ? 2)2 + 4
P(h) = (h ? 2)3 ? 2(h ? 2)2 + 4
P(x) = (x ? 2)3 ? 2(x ? 2)2 + 4 bulunur.
POLINOM KATSAYILAR TOPLAMI
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazilirsa
P(1) = an + an-1 + ... + a1 + a0 katsayilar toplami bulunur.
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazilirsa sabit terimi bulunur.
Örnek
P(x) = 2x4 + 5x3 ? 3x2 + x ? 1 polinomunun katsayilari toplamini bulunuz.
Çözüm
P(x) de x = 1 ?i yerine yazalim.
P(1) = 2.14 + 5.13 ? 3.12 + 1-1
= 2 + 5 ? 3 + 1 ? 1 = 4 bulunur.
Örnek
A(x) = 5x4 + x3 ? 3x2 + x + 2 ve
B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 + polinomlari için, A(x) ? B(x) farkini bulalim.
Çözüm
B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 + ise, -B(x) = 5x4 - x3 ? 2x2 - dir.
A(x) ? B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5x4 + x3 ? 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 ?2x2 - )
= (5 + 5)x4 + ( - )x3 + (-3 ?2)x2 + x + (2 - )
= 10x4 ? x3 ? 5x2 + x - olur.
Bu örnekte görüldügü gibi, iki polinomun farki da bir polinomdur.
Her A(x) ve B(x) polinomlari için, A(x) ? B(x) ifadesi de polinom oldugundan; polinomlar kümesi, çikarma islemine göre kapalidir.
Örnek:
Örnek
A(x) = 3x4 + 1,
B(x) = x2 + x
C(x) = x2 ? x + 1 polinomlari veriliyor.
a) A(x) . B(x)
b) B(x) . C(x) çarpimlarini bulunuz.
Çözüm
a) A(x) . B(x) = (3x4 + 1) . (x2 + x)
= 3x4 . x2 + 3x4 . x + x2 + x
= 3x6 + 3x5 + x2 + x
b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 ? x + 1)
= x2 . x2 ? x2 . x + x2 . 1 + x . x2 ? x . x + x . 1
= x4 ? x3 + x2 + x3 ? x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur.
Örnek
P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu
Q(x) = x2 + 3x ? 1 polinomuna bölelim.
x4 ? 2x2 + x + 5 x2 + 3x ? 1
_____________ = x2
x2- 3x + 8
± x4 ± 3x3 ± x2 = -3x
-_________________
-3x3 ? x2 + x + 5 = 8
±3x3 ± 9x2 ±3x
-_________________
8x2 ? 2x + 5
± 8x2 ± 24x ±8
-_________________
- 26x + 13
Bölüm : x2 ? 3x + 8
Kalan : -26x + 13
Örnek
P(x) = x4 ? x3 + 3x + 4 polinomunun x ? 2?ye bölündügünde bölüm ve kalani horner metodu yardimiyla bulunuz.
Çözüm
P(x)?in katsayilarini belirleyip tabloda gösterelim. Ayrica x ?2 = 0 x = 2 ?yi yerine? yazalim.
Bölümün Katsayilari Kalan
-1 0 3 4
2 1 2 2 4 14
1 1 2 7 18
Bölümün Katsayilari Kalan
Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7
Kalan R(x) = 18 bulunur.
Örnek
P(x) = x2 ? 3x + 21 polinomunun (x ? 2) ile bölünmesinden elde edilen kalani bulunuz.
Çözüm
x = 2 dir. Bulacagimiz kalan P(2)?X ? 2 = 0 olacaktir. Öyleyse, P(2) = 22 ? 3 . 2 + 21 = 19 olur.
Örnek
P(x) = x3 ? 4x + 1 polinomunun 2x ? 1 ile bölünmesinden kalani bulunuz.
Çözüm
P ( ) = - 4. + 1 = - 2 + 1 = olur.
Bir P(x) Polinomunun x2 + a, x3 + a, x4 + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalani bulmak için polinomda x2 yerine ?a yazilir.
P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalani bulmak için polinomda x3 yerine ?a yazilir.
P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalani bulmak için polinomda x4 yerine ?a yazilir.
Örnek
P(x) = x4 ? x3 + x2 + 7x ?1 polinomunun, x2 + 2 ile bölünmesinden kalani bulunuz.
Çözüm
Istenen kalani bulmak için (x2 + 2 x2 = -2) polinomda x2 yerine ?2 yazariz.?= 0
P(x) = x2 . x2 ? x2 . x + x2 + 7x ? 1 olur.
Kalan : (-2) ( -2) ? (-2) . x ? 2 + 7x ? 1 = 4 + 2x + 7x ? 3 = 9x + 1 bulunur.
Bir Polinomun (x ? a) (x ? b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan
Bir P(x) polinomunun (x ? a) . (x ? b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen P(x) polinomu önce (x ? a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x ? b) ile bölünür.
Örnek
Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x ? 2) ile bölünmesinden kalani bulunuz.
Çözüm
(x + 3) (x ? 2) polinomu 2. dereceden olduguna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdesligi yazilirsa,
P(x) = (x + 3) (x ? 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.
P(-3) = -5 ve P(2) = 4 oldugu veriliyor.
?P(-3) = (-3 + 3) (-3 ?2) . B (-3) ?3a +b P(-3) = -3a + b
P(2) = 2a +b?P(2) = (2 + 3) (2 ? 2) . B(2) + ?a +b olur.
-3a + b = -5
2a + b = 4
denklem sistemi çözülürse, a = ve b = olur. Buradan, K(x) = x + bulunur.
