Answered

Kalademi.me ułatwia znalezienie rozwiązań dla wszystkich Twoich pytań dzięki aktif bir topluluk yardımıyla kolaylaştırır. Farklı disiplinlerdeki uzmanlardan kesin yanıtlar almak için kullanıcı dostu platformumuzu keşfedin. Sorularınıza hızlı ve güvenilir çözümler bulmak için deneyimli uzman topluluğumuzdan faydalanın.

x² + mx + n² = 0 denkleminde m ve n yerine rastgele birer rakam yazılıyor. Buna göre, denklemin gerçel kökünün olma olasılığı kaçtır?​

Sagot :

Bilgi:Bir denklemin gerçek kökü varsa ∆ (deltası) sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır.

∆ (delta) sıfırdan küçükse denklemde reel kök yok demektir.

Deltayı nasıl buluruz?

ax²+bx+c = 0

şeklinde yazılan bir denklemin deltası:

∆ = b²-4ac

formülü ile bulunmaktadır.

Soruya geçelim.

Denklem: x²+mx+n² = 0

∆ = m²-4n²

Çarpanlara ayırabiliriz. Bunun için iki kare farkı formülünü kullanacağız.

İki kare farkı formülü:

a²-b² = (a+b).(a-b)

O hâlde m²-4n² = (m+2n).(m-2n)

Deltayı bulduk. Daha sonrasında ne yapacağımızı düşünelim.

m ve n değerleri için rastgele rakamlar yazılıyor.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Ve bizden denklemin gerçek kökü olma olasılığı soruluyor.

Olasılık bulunurken paydaya tüm ihtimalleri yazarız, paya ise yalnızca istenen ihtimali yazarız.

m ve n için 10 rakam arasından değer seçtiğimizde tüm ihtimaller:

  • m için: 10 ihtimal
  • n için: 10 ihtimal

  • m, n sıralı ikilisi için: 10×10 = 100 ihtimal

O halde paydaya 100 yazacağız.

Şimdi bizden isteneni bulmalıyız: Gerçek kök olma ihtimali.

(m+2n).(m-2n) ≥ 0

Bu eşitliği sağlayan kaç tane (m, n) sıralı ikilisi olduğunu bulalım.

(m+2n) toplamı m ve n sıfır olduğu durum dışında hep pozitiftir.

O halde asıl dikkat etmemiz gereken çarpan: (m-2n)

(m-2n) çarpanını sıfır veya sıfırdan büyük yapan m ve n değerlerini bulalım.

  • m-2n ≥ 0

  • m ≥ 2n eşitliğini sağlayacak sıralı ikililer:

  • m = 0 için n = 0

  • (0, 0)
  • m = 1 için n = 0

  • (1, 0)
  • m = 2 için n = 0, 1

  • (2, 0) , (2, 1)
  • m = 3 için n = 0, 1

  • (3, 0) ve (3, 1)
  • m = 4 için n = 0, 1, 2

  • (4, 0) , (4, 1) , (4, 2)
  • m = 5 için n = 0, 1, 2

  • (5, 0) , (5, 1) , (5, 2)
  • m = 6 için n = 0, 1, 2, 3

  • (6, 0) , (6, 1) , (6, 2) , (6, 3)
  • m = 7 için n = 0, 1, 2, 3

  • (7, 0) , (7, 1) , (7, 2) , (7, 3)
  • m = 8 için n = 0, 1, 2, 3, 4

  • (8, 0) , (8, 1) ,(8, 2) , (8, 3) , (8, 4)
  • m = 9 için n = 0, 1, 2, 3, 4

  • (9, 0) , (9, 1) , (9, 2) , (9, 3) , (9, 4)
  • Toplamda 30 sıralı ikili bulduk.

İstenen ihtimal: 30

Tüm ihtimaller: 100

Olasılığımız: 30100\frac{30}{100}

100

30