hasretclk2503
Answered

Kalademi.me'ya hoş geldiniz, tüm sorularınıza hızlı ve doğru yanıtlar bulabileceğiniz en iyi soru-cevap platformu. Farklı alanlardaki uzmanlardan kesin yanıtlar almak için kullanıcı dostu platformumuzu keşfedin. Farklı disiplinlerdeki uzmanlardan kesin yanıtlar almak için kapsamlı soru-cevap platformumuzu kullanın.

x² + mx + n² = 0
denkleminde m ve n yerine rastgele birer rakam yazılıyor.
Buna göre, denklemin gerçel kökünün olma olasılığı kaçtır?​

Sagot :

belalimod

Merhaba, öncelikle soruda verilenleri anlamaya çalışalım.

Bize, ikinci dereceden, [tex]x[/tex] değişkenine bağlı bir bilinmeyenli denklem verilmiş. Katsayıları henüz bilmiyoruz. Bu bilinmeyenler yerine konulabilecek sayıların kümesi de tanımlanmış.

[tex]m,n[/tex] ∈ [tex](0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)[/tex]

HATIRLATMA!

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kökleri hakkında fikir edinmemizi sağlayan olgu "diskriminasyon" işlemidir.

[tex]ax^2+bx+c=0[/tex] formatındaki ikinci dereceden, bir bilinmeyenli denklemlerin diskriminant (Δ) formülü aşağıda verilmiştir;

Δ = [tex]b^2-4ac[/tex]

Şayet delta (Δ) durumuna göre 3 olgu vardır.

  1. Eğer Δ [tex]< 0[/tex] ise denklemin reel sayılarda çözümü yoktur.
  2. Eğer Δ [tex]=0[/tex] ise denklemin çakışık iki kökü vardır.
  3. Eğer Δ [tex]> 0[/tex] ise denklemin birbirinden farklı iki kökü vardır.

Çözüm:

Verilen denklemin diskriminantını inceleyeceğiz.

Δ = [tex]b^2-4ac=m^2-4(n^2)[/tex]

Şayet Δ [tex]< 0[/tex] olan durumlar dışındaki her durum, istediğimiz durum olacaktır. Bu olgu, gerçel köklerimizi var edeceğinden çözüme devam edelim.

Ayrıca soruda [tex]m[/tex] ve [tex]n[/tex] sayısı birbirinden farklı denmemiş buna dikkat edelim!

[tex]m < n[/tex] olan durumları başta eleyebiliriz çünkü diskriminant formülümüzde [tex]n[/tex] sayısı, [tex]m[/tex] sayısından hızlı büyüdüğünden, bunların karesinde de aynı durum olacaktır.

[tex]m^2-4n^2\geq 0\\\\m^2\geq 4n^2\\\\\sqrt{m^2}\geq \sqrt{4n^2}\\ \\ m\geq 2n[/tex]

Son durumda, [tex]m[/tex] sayısının, [tex]2n[/tex] sayısına eşit ya da ondan büyük olması gerektiğini bulduk ki gerçel çözümümüz olsun. Bunu sağlayan değerler çifti ise aşağıda verilmiştir;

[tex]n=0;\\(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),(5,0),(6,0),(7,0),(8,0),(9,0)\\\\n=1;\\(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(7,1),(8,1),(9,1)\\\\n=2;\\(4,2),(5,2),(6,2),(7,2),(8,2),(9,2)\\\\n=3;\\(6,3),(7,3),(8,3),(9,3)\\\\n=4;\\(8,4),(9,4)[/tex]

[tex]n=5[/tex] için [tex]m[/tex] sayısı rakam olamayacağından, olabilecek tüm durumlarımız bunlardır. Toplamda [tex]30[/tex] adet ihtimalimiz var. Tüm durum içinse şunu uygulayabiliriz;

[tex]m[/tex] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = 10 adet sayı

[tex]n=[/tex] {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = 10 adet sayı

[tex]Toplam=10.10=100[/tex] durum.

Olasılık bağıntısı şöyle yazılabilir;

[tex]P=\frac{istenilen}{hepsi}[/tex]

O halde cevabımız;

[tex]P=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}=[/tex] %30 olarak bulunur. Başarılar dilerim!

Şeyma

Bilgi:

Bir denklemin gerçek kökü varsa ∆ (deltası) sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır.

∆ (delta) sıfırdan küçükse denklemde reel kök yok demektir.

Deltayı nasıl buluruz?

  • ax²+bx+c = 0

şeklinde yazılan bir denklemin deltası:

  • ∆ = b²-4ac

formülü ile bulunmaktadır.

...

Soruya geçelim.

Denklem: x²+mx+n² = 0

∆ = m²-4n²

Çarpanlara ayırabiliriz. Bunun için iki kare farkı formülünü kullanacağız.

İki kare farkı formülü:

  • a²-b² = (a+b).(a-b)

O hâlde m²-4n² = (m+2n).(m-2n)

Deltayı bulduk. Daha sonrasında ne yapacağımızı düşünelim.

m ve n değerleri için rastgele rakamlar yazılıyor.

  • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Ve bizden denklemin gerçek kökü olma olasılığı soruluyor.

Olasılık bulunurken paydaya tüm ihtimalleri yazarız, paya ise yalnızca istenen ihtimali yazarız.

m ve n için 10 rakam arasından değer seçtiğimizde tüm ihtimaller:

m için: 10 ihtimal

n için: 10 ihtimal

m, n sıralı ikilisi için: 10×10 = 100 ihtimal

O halde paydaya 100 yazacağız.

Şimdi bizden isteneni bulmalıyız: Gerçek kök olma ihtimali.

  • (m+2n).(m-2n) ≥ 0

Bu eşitliği sağlayan kaç tane (m, n) sıralı ikilisi olduğunu bulalım.

(m+2n) toplamı m ve n sıfır olduğu durum dışında hep pozitiftir.

O halde asıl dikkat etmemiz gereken çarpan: (m-2n)

(m-2n) çarpanını sıfır veya sıfırdan büyük yapan m ve n değerlerini bulalım.

m-2n ≥ 0

m ≥ 2n eşitliğini sağlayacak sıralı ikililer:

m = 0 için n = 0

  • (0, 0)

m = 1 için n = 0

  • (1, 0)

m = 2 için n = 0, 1

  • (2, 0) , (2, 1)

m = 3 için n = 0, 1

  • (3, 0) ve (3, 1)

m = 4 için n = 0, 1, 2

  • (4, 0) , (4, 1) , (4, 2)

m = 5 için n = 0, 1, 2

  • (5, 0) , (5, 1) , (5, 2)

m = 6 için n = 0, 1, 2, 3

  • (6, 0) , (6, 1) , (6, 2) , (6, 3)

m = 7 için n = 0, 1, 2, 3

  • (7, 0) , (7, 1) , (7, 2) , (7, 3)

m = 8 için n = 0, 1, 2, 3, 4

  • (8, 0) , (8, 1) ,(8, 2) , (8, 3) , (8, 4)

m = 9 için n = 0, 1, 2, 3, 4

  • (9, 0) , (9, 1) , (9, 2) , (9, 3) , (9, 4)

Toplamda 30 sıralı ikili bulduk.

İstenen ihtimal: 30

Tüm ihtimaller: 100

Olasılığımız: [tex] \frac{30}{100} [/tex] olarak bulunur.

İyi çalışmalar.

Aradığınız bilgileri bulduğunuzu umuyoruz. Daha fazla yanıt ve güncel bilgi almak için tekrar ziyaret edin. Ziyaretiniz için teşekkür ederiz. Amacımız, tüm bilgi ihtiyaçlarınız için en doğru yanıtları sunmaktır. Yakında tekrar görüşmek üzere. Kalademi.me, güvenilir yanıt kaynağınız. Daha fazla bilgi için tekrar gelmeyi unutmayın.