Kalademi.me, aktif bir topluluğun yardımıyla sorularınıza yanıt bulmayı kolaylaştırır. Sorularınızı sorun ve farklı alanlardaki profesyonellerden ayrıntılı yanıtlar alın. Farklı disiplinlerdeki uzmanlardan kesin yanıtlar almak için kapsamlı soru-cevap platformumuzu kullanın.
Sagot :
[tex] \Large \mathbb{SOLUTION:} [/tex]
[tex] \begin{array}{l} \bold{Given:}\ \begin{cases} \ V(0) = 1000 \\ \textsf{Input of brine} = 6\ \textsf{L/min} \\ C_{\textsf{in}}= 0.01\ \textsf{kg/L} \\ \textsf{Output of brine} = 6\ \textsf{L/min} \end{cases} \\ \\ \textsf{Let }y(t)\textsf{ be the amount of salt dissolved in the} \\ \textsf{tank (in kg) after }t\textsf{ minutes. Now, we have }\\ C_{\textsf{out}} = \dfrac{y(t)}{1000 + 6t - 6t} = \dfrac{y(t)}{1000} = x(t), \\ \textsf{where }x(t)\textsf{ is the salt concentration in the brine} \\ \textsf{leaving the tank at some time }t. \\ \\ \textsf{The basic principle determining the differential} \\ \textsf{equation is} \\ \\ \Large \quad \quad \dfrac{dy}{dt} = R_{\textsf{in}} - R_{\textsf{out}} \\ \\ \textsf{where:} \end{array} [/tex]
[tex] \begin{array}{l} \bullet \: R_{\textsf{in}} = \textsf{rate of the salt entering} \\ \quad \quad\: \: = \left({\footnotesize \begin{array}{c}\textsf{Concentration of} \\\textsf{salt inflow}\end{array}}\right) \times \small(\textsf{Input of brine}) \end{array} [/tex]
[tex] \begin{array}{l} \bullet \: R_{\textsf{out}} = \textsf{rate of the salt leaving} \\ \quad \quad\:\:\: = \left({\footnotesize \begin{array}{c}\textsf{Concentration of} \\\textsf{salt outflow}\end{array}}\right) \times \small(\textsf{Output of brine}) \end{array} [/tex]
[tex] \begin{array}{l} \textsf{Note that }\dfrac{y(t)}{1000} = x(t) \\ y(t) = 1000x(t) \implies \dfrac{dy}{dt} = 1000\dfrac{dx}{dt} \\ \\ R_{\textsf{in}} = 6(0.1) = 0.6\ \textsf{kg/min} \\ R_{\textsf{out}} = 6x(t)\ \textsf{kg/min} \\ \\ \textsf{Substituting these to the differential equation} \\ \textsf{above,} \\ \\ \implies 1000\dfrac{dx}{dt} = 0.6 - 6x \\ \\ \textsf{By separation of variables,} \\ \\ \displaystyle \int_0^{0.05} \dfrac{1000}{0.6 - 6x} dx = \int_0^T dt \\ \\ -\dfrac{1000}{6}\ln (0.6 - 6x) \Big |_0^{0.05} = T\\ \\ \therefore \boxed{T = 115.52\ \textsf{ mins}}, \textsf{where }T\textsf{ is the time taken} \\ \textsf{for the tank to reach a salt concentration of} \\ 0.05\textsf{ kg/L}.\end{array} [/tex]
(シ_ _)シ
Ziyaretinizi takdir ediyoruz. Bulduğunuz yanıtların faydalı olduğunu umuyoruz. Daha fazla bilgi için geri dönmekten çekinmeyin. Zamanınızı ayırdığınız için minnettarız. Herhangi bir sorunuz olduğunda doğru yanıtlar almak için istediğiniz zaman geri dönün. Kalademi.me'yi her zaman ziyaret edin, uzmanlarımızdan yeni ve güvenilir yanıtlar alın.