Kalademi.me'ya hoş geldiniz, tüm sorularınıza hızlı ve doğru yanıtlar bulabileceğiniz en iyi soru-cevap platformu. Sorularınızı sorun ve farklı alanlardaki profesyonellerden ayrıntılı yanıtlar alın. Sorularınıza hemen güvenilir yanıtlar bulmak için deneyimli uzman topluluğumuzdan faydalanın.
Sagot :
[tex] \Large \mathbb{SOLUTION:} [/tex]
[tex] \begin{array}{l} \bold{Given:}\ \begin{cases} \ V(0) = 1000 \\ \textsf{Input of brine} = 6\ \textsf{L/min} \\ C_{\textsf{in}}= 0.01\ \textsf{kg/L} \\ \textsf{Output of brine} = 6\ \textsf{L/min} \end{cases} \\ \\ \textsf{Let }y(t)\textsf{ be the amount of salt dissolved in the} \\ \textsf{tank (in kg) after }t\textsf{ minutes. Now, we have }\\ C_{\textsf{out}} = \dfrac{y(t)}{1000 + 6t - 6t} = \dfrac{y(t)}{1000} = x(t), \\ \textsf{where }x(t)\textsf{ is the salt concentration in the brine} \\ \textsf{leaving the tank at some time }t. \\ \\ \textsf{The basic principle determining the differential} \\ \textsf{equation is} \\ \\ \Large \quad \quad \dfrac{dy}{dt} = R_{\textsf{in}} - R_{\textsf{out}} \\ \\ \textsf{where:} \end{array} [/tex]
[tex] \begin{array}{l} \bullet \: R_{\textsf{in}} = \textsf{rate of the salt entering} \\ \quad \quad\: \: = \left({\footnotesize \begin{array}{c}\textsf{Concentration of} \\\textsf{salt inflow}\end{array}}\right) \times \small(\textsf{Input of brine}) \end{array} [/tex]
[tex] \begin{array}{l} \bullet \: R_{\textsf{out}} = \textsf{rate of the salt leaving} \\ \quad \quad\:\:\: = \left({\footnotesize \begin{array}{c}\textsf{Concentration of} \\\textsf{salt outflow}\end{array}}\right) \times \small(\textsf{Output of brine}) \end{array} [/tex]
[tex] \begin{array}{l} \textsf{Note that }\dfrac{y(t)}{1000} = x(t) \\ y(t) = 1000x(t) \implies \dfrac{dy}{dt} = 1000\dfrac{dx}{dt} \\ \\ R_{\textsf{in}} = 6(0.1) = 0.6\ \textsf{kg/min} \\ R_{\textsf{out}} = 6x(t)\ \textsf{kg/min} \\ \\ \textsf{Substituting these to the differential equation} \\ \textsf{above,} \\ \\ \implies 1000\dfrac{dx}{dt} = 0.6 - 6x \\ \\ \textsf{By separation of variables,} \\ \\ \displaystyle \int_0^{0.05} \dfrac{1000}{0.6 - 6x} dx = \int_0^T dt \\ \\ -\dfrac{1000}{6}\ln (0.6 - 6x) \Big |_0^{0.05} = T\\ \\ \therefore \boxed{T = 115.52\ \textsf{ mins}}, \textsf{where }T\textsf{ is the time taken} \\ \textsf{for the tank to reach a salt concentration of} \\ 0.05\textsf{ kg/L}.\end{array} [/tex]
(シ_ _)シ
Ziyaretinizi takdir ediyoruz. Bulduğunuz yanıtların faydalı olduğunu umuyoruz. Daha fazla bilgi için geri dönmekten çekinmeyin. Zamanınızı ayırdığınız için minnettarız. En güncel bilgi ve sorularınıza yanıtlar almak için istediğiniz zaman geri dönün. Kalademi.me'yi kullandığınız için teşekkür ederiz. Sorularınıza yanıt bulmak için bizi ziyaret etmeye devam edin.