Elimizde iki adet bilinmeyen terim sorusu var. Sorular, tabii ki bizden terimleri bulmamızı istiyor. O halde sorularımıza teker teker bakmaya başlayalım.
Elimizde bir eşitsizlik ve bu eşitsizlikler içinde bir bilinmeyen x terimi bulunuyor. Soru, bu bilgiler doğrultusunda bizden x'in alabileceği en küçük değeri bulmamızı istiyor. O halde soruyu çözmeye başlayalım.
Öncelikle eşitsizliğimizi yazalım.
[tex] {( \frac{1}{2}) }^{3x + 6} < { (\frac{1}{2}) }^{ - 2x + 8} [/tex]
Soru, bizden x'in en küçük değerini istediği için bu iki üssü karşılaştıracağız. Ama şunu unutmayalım ki üssü büyük olan daha küçük olacağı için küçük olan üslü ifadenin üssü daha büyüktür.
[tex]3x + 6 > - 2x + 8[/tex]
Bundan dolayı bu şekilde yazmamız uygun olacaktır. Şimdi, benzer olan terimleri yan yana getirelim ve cevabı bulalım.
[tex]5x > 2 \\ x > \frac{2}{5} [/tex]
Yaptığımız işlem sonucunda x'in 2/5'ten büyük olduğunu bulduk. Bizden reel sayı değeri istenseydi cevabımız 3/5 olurdu ancak tam sayı istendiği için cevabımız 1 olur.
Elimizde köklü sayılarla bir toplama işlemi bulunuyor. Soru, bu köklü ifadeleri gerçek, yani reel sayı yapan en küçük x değerinin kaç olduğunu bulmamızı istiyor. O halde soruyu çözmeye başlayalım.
Öncelikle reel sayılar liseye kadar bildiğimiz bütün sayıları içinde barındırır. Ancak karmaşık sayıları barındırmaz. Bir sayının karmaşık bir sayı olduğunu anlamak için köklü ifadenin kök içinde bulunan değerinin negatif ya da pozitif olduğunu bilmek yeterlidir. Eğer pozitif ise reel, negatif ise karmaşık sayıdır. Ancak köklü sayımız bir küpkök ise içerisi negatif de olsa dışarı reel sayı olarak çıkar. O halde birinci denklemi dahil etmeyelim ve sadece ikinci denkleme bakalım. Bu sayede x yerine gelecek en küçük değeri de bulmuş olacağız.
[tex]\sqrt{3x - 12} \\ 3x - 12 ≥ 0 \\ x ≥ 4[/tex]
İki eştsizliğin sonucuna bakacak olursak, x terimimizin 4'ten eşit ya da büyük olması gerektiğini bulduk. Bu yüzden cevabımız 4 olacaktır.
25.06.22
Soru1:
Bir eşitsizlik sorusu verilmiş. Bizden x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri isteniyor. [tex]\frac{1}{2} ^{3x+6} < \frac{1}{2} ^{-2x+8}[/tex] eşitsizliğimiz bu şekilde. Verilen ifadenin tabanları aynı, kuvvetleri farklı. Ve bizden istenilene göre x'in alabileceği en küçük değer isteniyor. Bu yüzden sayıların kuvvetlerini karşılaştırmalıyız. Hangisinin kuvveti daha büyükse o sayı o kadar küçüktür. O zaman kuvvetleri karşılaştırdığımızda doğru ifade [tex]3x+6 > -2x+8[/tex] bu şekilde olmalıdır. Yani 3x+6, -2+8'den daha büyüktür. Şimdi bu eşitsizlikteki benzer terimleri yan yana getirerek işleme almalıyız. Buradaki benzer terimler 3x ile -2x, ve de 6 ile 8'dir. Bu sayıları yan yana aldığımızda;
Bizden x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri isteniyordu. Yaptığımız işlemin sonucunda x'in [tex]\frac{2}{5}[/tex]'ten büyük olduğunu bulduk. Tam sayı değeri istendiğini unutmayalım. [tex]\frac{2}{5}[/tex]'ten büyük olan en küçük tam sayı 1'dir. O zaman cevabımızda 1'dir diyoruz.
Soru2:
Birbiri ile toplanan iki tane köklü sayı verilmiş ve bu ifadeyi gerçel yani reel sayı yapan en küçük x değerini soruyor. Soruda da verildiği üzere ifadeyi reel sayı yapan en küçük x değeri soruluyor. Her reel sayı aynı zamanda bir karmaşık sayıdır. Ancak karmaşık sayılar reel sayıların içinde bulunmaz. Bir sayının karmaşık sayı olup olmadığını anlamak için kök içinde verilen ifadenin negatif mi pozitif mi olduğunu bilmemiz gereklidir. Sayı pozitif bir sayı ise reel, sayı negatif bir sayıysa da karmaşık sayıdır. Ama sorumuzda da verildiği gibi köklü ifade küp içinde verilmişse sayı negatif de olsa dışarı çıkarken reel bir sayı olarak çıkar. O zaman birinci ifademiz zaten reel bir sayı olarak çıkıyor. Bu yüzden çözmemize gerek yok. İkinci ifadeye baktığımızda x'in alabileceği en küçük değeri bulmuş olacağız zaten. O zaman ikinci ifadeye bakalım:
[tex]\sqrt{3x-12}[/tex] kökün içi negatif bir sayı yani sayımız karmaşık bir sayıdır.
Bu durumda x, 4'ten büyük yada 4'e eşit olmalıymış. Bizden alabileceği en küçük değer istendiği için cevabımız 4 olmalıdır.
- ẞiscuit
