Merhaba!
Fonksiyonu tanımlamak için
1. kümeye turistler
2. kümeye turistlerin kalabileceği oteller
diyelim
1. küme bizim tanım kümemiz olur.
2. küme bizim değer kümemiz olur.
Şöyle düşünebiliriz;
Tanım kümesine çocuklar; değer kümesine anneler diyelim. böylelikle tanım kümesiyle değer kümesini eşleştirirken daha kolay bir yol izlemiş oluruz.
Fonksiyonun gösterimi
Venn şeması ile
f(x) = y
f: A → B
Örnek Soru
f: R → R olmak üzere;
f(x) = 2x+5 olduğuna göre;
f(3) = ?
Çözüm
Soruda bize x gördüğümüz yere 3 vermemiz gerektiği belirtilmiş.
2.3+5
=6+5
=11
Fonksiyon Sayısı
f: A → B olsun.
fonksiyon sayısı = [tex]s(B)^{s(A)}[/tex] dır.
Örnek Soru
f: A → B olmak üzere,
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d} için kaç farklı f fonksiyonu vardır?
Çözüm
B'deki eleman sayısı 4
A'daki eleman sayısı 3
[tex]4^{3} = 64[/tex]
Eşit Fonksiyon
f: A → B olsun ve g: A → B olsun.
∀x∈A için f(x) = g(x) ise f ile g fonksiyonları eşittir.
Örnek Soru
A = {-1,2} ve B = {-1,5} olsun.
f(x) = x²+x-1
g(x) = 2x+1
ile tanımlanan f ve g fonksiyonlarının eşit olduğunu gösteriniz.
Çözüm
x gördüğümüz yere -1 yazalım.
f(-1) = (-1)²-1-1
= -1
g(-1) = 2(-1)+1
= -1
x gördüğümüz yere 2 yazalım
f(2) = 2²+2-1
= 5
g(2) = 2.2+1
=5
f(x) = g(x)
Fonksiyon Türleri ve Açıklamaları
Bire bir Fonksiyon
f: A → B olsun.
A kümesinin her bir elemanı, B kümesinde farklı bir elemana gidiyorsa fonksiyon bire bir fonksiyondur. 1-1 ile gösterilir
Örten Fonksiyon
f: A → B olsun.
B kümesinde (değer kümesinde) açıkta eleman kalmıyorsa fonksiyon örten fonksiyondur.
İçine Fonksiyon
f: A → B olsun.
B kümesinde açıkta eleman kalıyorsa bu fonksiyona içine fonksiyon denir.
Birim Fonksiyon
f: A → B olsun.
A tanım kümesindeki her elemanın B görüntü kümesindeki karşılığı yine kendisi oluyor ise fonksiyon birim fonksiyondur.
Sabit Fonksiyon
f: A → B olsun.
Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesinde aynı elemanla eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
Sıfır Fonksiyon
f: A → B olsun.
Görüntü kümesinde sadece sıfır elemanı olan fonksiyonlara sıfır fonksiyon denir.
Doğrusal Fonksiyon
Kuralı bir doğru denklemi (f(x) = ax+b) olan fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.
Tek ve Çift Fonksiyonlar
f: R → R ve ∀ x ∈ R için,
f(-x) = -f(x) ise f fonksiyonuna tek fonksiyon denir.
f(-x) = f(x) ise f fonksiyonuna çift fonksiyon denir.
Fonksiyonlarda Dört İşlem
A, B ⊂ R ve f: A → R, g: B → R
y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonları verilsin.
⇒ (f+g)(x): A ∩ B → R
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
⇒ (f-g)(x): A ∩ B → R
(f-g)(x) = f(x) - g(x)
⇒ (f.g)(x): A ∩ B → R
(f.g)(x) = f(x).g(x)
⇒ [tex](\frac{f}{g})[/tex](x): A ∩ B → R , g(x) ≠ 0
[tex](\frac{f}{g})[/tex](x) = [tex]\frac{f(x)}{g(x)}[/tex]
⇒ f: A → R , y = f(x) ve c ∈ R için
(c.f)(x): A → R
(c.f)(x) = c.f(x)
Örnek Soru
f: R → R ve g: R → R
f(x) = 5x²-x+3 ve g(x) = 3x-1 veriliyor.
a) (f+g)(x) = ?
b) (f-g)(x) = ?
c) (f.g)(x) = ?
d) (2f-3g)(x) = ?
e) (g²-f)(x) = ?
Çözüm
a)
f(x)+g(x)
5x²-x+3+3x-1
= 5x²+2x+2
b)
5x²-x+3-(3x-1)
= 5x²-4x+4
c)
(5x²-x+3)(3x-1)
d)
2f(x)-3g(x)
= 2.(5x²-x+3)-3.(3x-1)
= 10x²-2x+6-9x+3
= 10x²-11x+9
e)
g²(x)-f(x)
(3x-1)²-(5x²-x+3)
= 9x²-6x+1-5x²+x-3
= 4x²-5x-2
Fonksiyonun Tersi
y = f(x) fonksiyonu A → B ye bire bir ve örten bir fonksiyon olmak üzere, f fonksiyonunun görüntü kümesindeki elemanları tanım kümesindeki orjinalleriyle eşleyen f⁻¹ fonksiyonuna f fonksiyonunun tersi denir.
f(x) = y ⇔ f⁻¹(y) = x
Bilgi:
(f⁻¹)⁻¹(x) = f(x) tir.
f(x) = y fonksiyonunda f(x) yerine y yazılır daha sonra x yalnız bırakılır. x ile y'nin yeri değiştiğinde fonksiyonun tersi olur.
f(x) = ax+b ⇒ f⁻¹(x) = [tex]\frac{x-b}{a}[/tex]
f(x) = [tex]\frac{ax+b}{cx+d}[/tex] ⇒ f⁻¹(x) = [tex]\frac{-dx+b}{cx-a}[/tex]
f ile f⁻¹ fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
Bileşke Fonksiyon
f: A → B ye g: B → C ye tanımlı birer fonksiyon iken gof: A → C ye bir fonksiyondur. gof, f ile g fonksiyonlarının bileşkesidir.
gof(x) = g(f(x))
Bilgi Kutusu:
f,g,h fonksiyonları için,
(fog)oh = fo(goh) (Birleşme özelliği vardır)
gof ≠ fog (Değişme özelliği yoktur)
fof⁻¹ (x) = I(x) = x (I(x) birim fonksiyondur)
foI(x) = Iof(x) = f(x)
(goh)⁻¹ = h⁻¹og⁻¹
Bileşke fonksiyonun tam hali için Bkz:
(https://eodev.com/gorev/15544070)
İYİ DERSLER :)
#OPTİTİM
