Cevap: -1, A şıkkıdır.
Adım adım açıklama:
Adım adım istediğiniz için çözümü elimden geldiğince detaylandırarak anlatacağım.
Sorularda hiçbir bilgi bize boşuna verilmez, bu yüzden bu tarz soruları çözerken her şeyi dikkatlice okuduğumuzdan emin olalım.
Sorunun başında k < 0 demiş, bunu aklımızda tutalım.
Sizlere bir sorum olacak. [tex]\frac{3+3}{3}[/tex] kaça eşittir desem bana bunun cevabını verebilir misiniz? Evet, bana kolayca 2 diyebilirsiniz. Aklınızdan 3 ile 3'ü toplayıp 3'ye böldünüz ve 2'yi elde ettiniz.
Bu sorduğum örnek soruyu bir de şu şekilde çözebilirsiniz:
[tex]\frac{3+3}{3}[/tex] dediğimiz ifade aynı zamanda [tex]\frac{3}{3} + \frac{3}{3}[/tex]'e de eşittir. Paydaları eşit olduğu sürece kesirleri parçalayabilirsiniz. Zaten [tex]\frac{3}{3} + \frac{3}{3}[/tex] de 2'ye eşittir.
Dediğim ifadeyi matematikselleştirecek olursak;
[tex]\frac{\alpha+\beta}{x} = \frac{a}{x} + \frac{\beta }{x}[/tex]
Bunu sizlere neden söyledim? Çünkü bunu soruda kullanacağız.
1) [tex]\frac{x+y}{y} + \frac{z+t}{t} = \frac{n+m}{n}[/tex]
2) [tex]\frac{x}{y} + \frac{y}{y} + \frac{z}{t} + \frac{t}{t} = \frac{n}{n} + \frac{m}{n}[/tex]
3) [tex]\frac{x}{y} + 1 + \frac{z}{t} + 1 =1 + \frac{m}{n}[/tex]
4) [tex]\frac{x}{y} + \frac{z}{t} + 2 = \frac{m}{n} + 1[/tex]
5) [tex]\frac{x}{y} + \frac{z}{t} + 1 = \frac{m}{n}[/tex]
Elimizdeki denklemi baya bir sadeleştirdik. Şimdi yukarıya bakıyoruz, bizlere şunu söylemiş: [tex]\frac{x}{y} = \frac{z}{t} = \frac{n}{m} = k[/tex]
O zaman elimizdeki denklemde [tex]\frac{x}{y}[/tex] ve [tex]\frac{z}{t}[/tex] gördüğüm yere k yazabilirim.
Soruda bana [tex]\frac{n}{m}[/tex]'yi k olarak vermiş ancak denklemimde [tex]\frac{m}{n}[/tex] var, ki bu da [tex]\frac{1}{k}[/tex]'ye eşittir.
Denklemimizi düzenleyerek tekrardan yazalım.
5) [tex]\frac{x}{y} + \frac{z}{t} + 1 = \frac{m}{n}[/tex]
6) [tex]k + k + 1 = \frac{1}{k}[/tex]
7) [tex]2k+1=\frac{1}{k}[/tex]
8) [tex]2k^2+k=1[/tex]
9) [tex]2k^2+k - 1 =0[/tex]
Şimdi ise elimizde ikinci dereceden bir denklem var, bunu da çarpanlarına ayıralım.
9) [tex]2k^2+k - 1 =0[/tex]
10) [tex](2k-1)+(k+1)=0[/tex]
Buradan [tex]k_{1} = \frac{1}{2}[/tex] ve [tex]k_{2} = -1[/tex] gelir.
Soruda bizlere k < 0 demişti, hatırlayalım.
O zaman cevabımız -1 olur, A şıkkıdır.