Cevap:
B)ÇARPANLARA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER:
Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya
“çarpanlara ayırma” denir.
Çarpanlara Ayırma Yöntemleri:
1)Ortak Çarpan Parantezine Alma:
Çok terimli ifadenin her teriminde ortak bir çarpan varsa, ifade onun parantezine
alınarak çarpanlar bulunur.
Örnek:
5 3 3 2 x +2x =x (x +2)
(x
2)x+(x
2)y=(x
2).(x+y)
x(x
y)
3(y
x)=x(x
y)+3(x
y)=(x
y).(x+3)
3 2 2 2 (a+2) 2(a+2) =(a+2) .(a+2 2)=(a+2) .a
2) Gruplandırma Yöntemi:
Verilen çok terimli ifadenin her teriminde ortak çarpan yoksa, terimler ikişerli ya da
daha fazla gruplara ayrılarak bu gruplar içerisinde ortak çarpan bulunmaya çalışılır.
Örnek: ax+ay+az+bx+by+bz ifadesini çarpanlarına ayırınız.
çözüm:
1.yol: Verilen çok terimli ifadede a’ lı terimleri bir grup, b’ li terimleri diğer grup olarak
alırsak:
ax+ay+az+bx+by+bz=a(x+y+z)+b(x+y+z)
elde edilir. Yani, verilen çok terimli ifade, iki terimli ifadeye dönüşmüş olur. Bu durumdaki
yazılışta da (x+y+z) ifadelerinin terimlerdeki ortak çarpan olduğunu görüyoruz. Tekrar ortak
çarpan parantezine alarak devam edersek:
a(x+y+z)+b(x+y+z)= (x+y+z).(a+b)
2
şeklinde çarpanları belirlemiş oluruz.
2.yol:Verilen çok terimli ifadede x’ li, y’ li ve z’ li terimleri ayrı gruplar olarak düşünürsek, x’
li terimlerde x ortak parantezine, y’ li terimlerde y ortak parantezine, z’ li terimlerde z ortak
parantezine alarak işleme devam edebiliriz.
ax+ay+az+bx+by+bz=x(a+b)+y(a+b)+z(a+b)
olur. Burada da (a+b) ifadelerinin ortak olduğunu görüp tekrar ortak çarpan parantezine
alırsak:
x(a+b)+y(a+b)+z(a+b)=(a+b).(x+y+z)
şeklinde çarpanları belirlemiş oluruz.
3)Özdeşliklerden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma:
Bazı temel özdeşlikler şunlardır:
2 2 2 x+y =x +2xy+y ; Tam Kare
2 2 2 x y =x 2xy+y ; Tam Kare
2 2 x y = x y . x+y ; İki Kare Farkı
3 3 2 2 3 x+y =x +3x y+3xy +y ; Toplamın Küpü
3 3 2 2 3 x y =x 3x y+3xy y ; Farkın Küpü
3 3 2 2 x +y = x+y . x xy+y ; İki Küp Toplamı
3 3 2 2 x y = x y . x +xy+y ; İki Küp Farkı
3
Örnekler: Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a)
2 2 2 2 x +6x+9=x +2.3x+3 = x+3
b)
2 2 2 2 4x 12x+9=(2x) 2.2x.3+3 =(2x 3)
c)
2 2 2 2 25x 16y =(5x) (4y) =(5x 4y).(5x+4y)
d)
2 2 x+2 y 1 = x+2 y 1 . x+2 + y 1 = x+2 y+1 . x+2+y 1 = x y+3 . x+y+1
e)
3 3 2 3 2 2 3 x 6x +12x 8=x 3.x .2+3.x.2 2 = x 2
f)
3 2 3 3 2 2 3 27x +27x +9x+1= 3x +3. 3x .1+3.3x.1 +1 = 3x+1
g)
3 3 2 2 3 3 8x 27y = 2x 3y = 2x 3y . 2x + 2x . 3y + 3y
2 2 = 2x 3y . 4x +6xy+9y
h)
3 2 3 3 3 2 2 2 a +125b =a + 5b = a+5b . a a. 5b + 5b = a+5b . a 5ab+25b
KURAL:
2
ax +bx+c
üç terimlisinin çarpanlarına ayrılması:
2
ax +bx+c
biçimindeki ifadeler
2 b 4ac 0
ise çarpanlarına ayrılabilir.
1.Durum: a=1 ise
2
x +bx+c
cebirsel ifadesi elde edilir. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak için
öncelikle x’in azalan kuvvetlerine göre terimleri yazarız. Daha sonra c sayısını öyle iki m ve n
sayısının çarpımı olarak düşünürüz ki; m ve n’nin çarpımları c’yi verirken, toplamları da
ortadaki sayı olan b’yi vermelidir. Bu şekilde m ve n sayılarını bulduğumuzda,
2
x +bx+c
ifadesini çarpanlarına ayırmış olarak;
2 2 x +bx+c= x + m+n x+m.n= x+m . x+n
şeklinde yazabiliriz.
2
x +bx+c
=(x+m).(x+n) ; m.n=c, m+n=b
x m
x n
4
Örnekler: Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a)
2
x +7x+10= x+5 . x+2 ; 5.2=10 ve 5+2=7
x +5
x +2
b)
2
x +5x 6= x+6 . x 1 ; 6.( 1)= 6 ve 6 1=5
x +6
x 1
2.Durum:
2
a 1 ise ax +bx+c
ifadesini çarpanlarına ayırmak için, yine öncelikle ifadeyi x’
in azalan kuvvetlerine göre yazarız. Sonra birinci ve üçüncü terimin her birini öyle iki
ifadenin çarpımı olarak düşünürüz ki; bu ifadeleri çapraz çarpıp topladığımızda ortadaki
terimi bulmalıyız.
Bu şekilde bulduğumuz uygun değerleri (varsa) daha sonra karşılıklı olarak
parantezlere alarak yazdığımızda
2
ax +bx+c
ifadesini çarpanlarına ayırmış oluruz.
2
ax +bx+c
=(mx+p).(nx+q) ; mxq+nxp=bx
mx p
nx q
mxq+nxp=bx
Örnekler: Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a)
2
2x +5x 7= 2x+7 . x 1
2x +7
x 1
2x+7x=+5x
b)
2
3x 4x 7= 3x 7 . x+1
3x 7
x +1
3x
7x=
4
5
KESİRLİ CEBİRSEL İFADELER:
A ve B
(B 0)
herhangi iki cebirsel ifade olmak üzere
A
B
şeklindeki ifadelere “kesirli
cebirsel ifade” denir.
Bir kesirli cebirsel ifadenin sayısal değeri, ifadede bulunan değişkenler için verilen
sayısal değerlerin yerlerine yazılmasıyla elde edilen sonuçtur.
Örnek:
2
3x 5
x +2x+2
kesirli cebirsel ifadesinin x=2 için sayısal değerini bulunuz.
çözüm: x=2 için:
2 2
3x 5 3.2 5 1 bulunur.
x +2x+2 2 2.2 2 10
Örnek:
2
2
x +1
x 1
ifadesinin x=0 için sayısal değerini bulunuz.
çözüm: x=0 için:
2 2
2 2
x +1 0 1 1 1 bulunur.
x 1 0 1 1
Uyarı: Bu cebirsel ifadenin x=1 ve x=
1 için sayısal değeri yoktur. Çünkü, bu değerler için
cebirsel ifadenin paydası
2 2 2 2 x 1=1 1=0 ve x 1 ( 1) 1 0
olacağından sayısal değer
tanımsız olur.
NOT: Bir kesirli cebirsel ifadenin pay ve paydasını sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak veya
bölmek, verilen kesrin değerini değiştirmez. Kesrin pay ve paydasını sıfırdan farklı bir ifade
ile çarpmak, verilen kesri “genişletmek” demektir. Kesirli ifadenin pay ve paydasını sıfırdan
farklı bir ifadeye bölmek, kesri “kısaltmak(sadeleştirmek)” demektir.
A
, B 0
B
bir kesirli cebirsel ifade ve C de sıfırdan farklı bir cebirsel ifade olmak
üzere,
A A.C A:C
B B.C B:C
denkliği vardır.
Örnek:
2
2
x 1 . x+2 . x 3
x 1 . x+1 . x +1
ifadesini x-1 ile sadeleştiriniz.
Adım adım açıklama:
