kümelerle ilgili 10 - 20 tane problem çözümüyle beraber
Örnek: A = {a, b, c} ve B = {1, 2, 3, 4} kümelerinin tüm elemanlarını bir araya getirerek yazalım:
Çözüm: {a, b, c, 1, 2, 3, 4} olur. Bu küme A ve B kümelerinin birleşim kümesidir
Kümelerde her eleman yalnız bir kez yazılır. İki kümenin birleşimi bu iki kümenin tüm elemanlarından oluşur. Birleşim işlemi “∪” sembolüyle gösterilir. A ve B gibi iki kümenin birleşimi sembolle “A ∪ B” biçiminde gösterilir,“A birleşim B” diye okunur.Örnek: Aşağıdaki Venn şemasına göre A, B ve A∪ B kümelerini yazalım. Ayrıca eleman sayılarını bulalım.
Çözüm: A = {1, 2, 3, 4, 5} s(A) = 5
B = {1, 2} s(B) = 2
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} s(A) = 5
Örnek: A = {a, b, c} ve B = {4, 5, 6} kümelerinin eleman sayıları arasındaki ilişkiyi inceleyelim
Çözüm: s(A) = 3 ve s(B) = 3’tür.
Ayrık küme: Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık küme denir.
Örnek: C = {z, t} ve D = {3, t, z} kümeleri veriliyor. C ∪D ve D∪C kümelerini bulup karşılaştıralım.
Çözüm: C ve D’nin ortak elemanları vardır. Bu elemanlar birleşim kümesine yalnız bir kez yazılmalıdır. O hâlde;
C ∪ D = {z, t} ∪ {3, t, z} = {z, t, 3} olur.
D ∪ C = {3, t, z} ∪ {z, t} = {3, t, z} olur.
Buradan, C ∪ D = D ∪ C olduğu görülür.
Örnek: Aşağıdaki şemayı ve birleşim işlemini inceleyelim:
Çözüm: B ∪ (C ∪ D)= {2, 3, 4} ∪ ({1, 2, 5} ∪ {5, 6})
= {2, 3, 4} ∪ {1, 2, 5, 6}
= {2, 3, 4, 1, 5, 6} olur.
(B ∪ C) ∪ D= ({2, 3, 4} ∪ {1, 2, 5}) ∪ {5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5} ∪ {5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur. Buradan,
B ∪ (C ∪ D)= (B ∪ C) ∪ D olduğu görülür.
Kümelerde birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.
Örnek: M = {m, n} ve P = { } kümeleri veriliyor. M∪P kümesini bulalım.
Çözüm: M∪ P = {m, n} ∪ { } = {m, n} olur.
Örnek: A = {1, 2, 3} kümesine eşit olan B kümesini yazalım.
Çözüm: Eşit olan kümeler aynı elemanlardan oluşacağından,
B = {1, 2, 3} olur.
Örnek: K = {x, y, z} olsun K ∪ K kümesini bulalım.
Çözüm: K∪ K= {x, y, z} ∪ {x, y, z}
= {x, y, z} olur.
Kümelerde Kesişim İşlemi ve Özellikleri
Örnek: A = {1, 2, 3, 4} ve B = {4, 3, 5, 6} kümelerinin ortak olan elemanlarını bulalım:
Çözüm: Bu elemanları küme olarak {3, 4} şeklinde gösterebiliriz.
Bulduğumuz bu küme, A ve B kümelerinin kesişimidir.
Örnek: A = {a, b, c} ve B = {e, f} kümeleri verilsin. A∩ B kümesini bulalım:
Çözüm: A ∩ B = {a, b, c} ∩ {e, f}= Ø olur.
Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir.
Ayrık kümelerin kesişim kümesi boş kümedir.
Örnek: Yandaki şemaya göre K∩L kümesini bulalım.
Çözüm: K ve L kümelerinin ortak elemanlarının bulunduğu bölgeyi yukarıda boyalı gösterdik.
Buna göre K∩L = {4, 7} olur.
Sembol
kesişim işlemi, “ ∩ ”
Örnek: Aşağıdaki şemaya göre A, B ve A∩B kümelerini bulalım.
Çözüm: Şemaya göre; A = {4, 8},
B = {2, 4, 8, 7, 9, 11},
A∩B = {4, 8} ’dir.
Örnek: L = {s, t, u} ve K = { k, t, p, s} kümeleri veriliyor.
L∩K ve K∩L kümelerini bulalım.
Bu kümeleri karşılaştıralım.
Çözüm: L∩K = {s, t, u} ∩{k, t, p, s} = {s, t} olur.
K∩L = {k, t, p, s} ∩{s, t, u} = {t, s} olur.
Buradan,L∩K = K∩L olduğu görülür.
Örnek: A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 6} ve C = {4, 5, 6} kümeleri verilsin.
A∩(B∩C) ve (A∩B)∩C kümelerini bulalım.
Çözüm: Önce A, B, C kümelerini Venn şemasıyla gösterelim:
A∩(B∩C) = {1, 2, 3, 4} ∩ ({2, 3, 4, 6} ∩ {4, 5, 6})
= {1, 2, 3, 4} ∩ {4, 6}= {4} olur.
(A∩B)∩C = ({1, 2, 3, 4} ∩ {2, 3, 4, 6}) ∩ {4, 5, 6}
= {2, 3, 4} ∩ {4, 5, 6}= {4} olur.
Buradan, A∩(B∩C) = (A∩B)∩C olduğu görülür.
Örnek: Aşağıdaki şemaya göre s(A), s(B), s(A ∩ B)
ve s(A ∪ B) değerlerini bulalım.
Çözüm: A = {a, b, c, d, e} olduğundan s(A) = 5’tir.
B = {1, 2, 3, a, b, c} olduğundan s(B) = 6’dır.
A∩B ={a, b, c} olup s(A ∩B)= 3’tür.
A∪B ={a, b, c, d, e, 1, 2, 3} olup s(A∪B)= 8’dir.
al bakalım ama bunlara çalışarak yap yoksa hayatın boyunca hep böyle geçer bunu sakın unutma başarılar dilerim
selam
Çözüm: {a, b, c, 1, 2, 3, 4} olur. Bu küme A ve B kümelerinin birleşim kümesidir
Kümelerde her eleman yalnız bir kez yazılır. İki kümenin birleşimi bu iki kümenin tüm elemanlarından oluşur. Birleşim işlemi “∪” sembolüyle gösterilir. A ve B gibi iki kümenin birleşimi sembolle “A ∪ B” biçiminde gösterilir,“A birleşim B” diye okunur.
Örnek: Aşağıdaki Venn şemasına göre A, B ve A∪ B kümelerini yazalım. Ayrıca eleman sayılarını bulalım.
Çözüm: A = {1, 2, 3, 4, 5} s(A) = 5
B = {1, 2} s(B) = 2
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} s(A) = 5
Örnek: A = {a, b, c} ve B = {4, 5, 6} kümelerinin eleman sayıları arasındaki ilişkiyi inceleyelim
Çözüm: s(A) = 3 ve s(B) = 3’tür.
Eleman sayıları aynı olan kümeler, birbirine denktir.
Ayrık küme: Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık küme denir.
Örnek: C = {z, t} ve D = {3, t, z} kümeleri veriliyor. C ∪D ve D∪C kümelerini bulup karşılaştıralım.
Çözüm: C ve D’nin ortak elemanları vardır. Bu elemanlar birleşim kümesine yalnız bir kez yazılmalıdır. O hâlde;
C ∪ D = {z, t} ∪ {3, t, z} = {z, t, 3} olur.
D ∪ C = {3, t, z} ∪ {z, t} = {3, t, z} olur.
Buradan, C ∪ D = D ∪ C olduğu görülür.
Örnek: Aşağıdaki şemayı ve birleşim işlemini inceleyelim:
Çözüm: B ∪ (C ∪ D)= {2, 3, 4} ∪ ({1, 2, 5} ∪ {5, 6})
= {2, 3, 4} ∪ {1, 2, 5, 6}
= {2, 3, 4, 1, 5, 6} olur.
(B ∪ C) ∪ D= ({2, 3, 4} ∪ {1, 2, 5}) ∪ {5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5} ∪ {5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur. Buradan,
B ∪ (C ∪ D)= (B ∪ C) ∪ D olduğu görülür.
Kümelerde birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.
Örnek: M = {m, n} ve P = { } kümeleri veriliyor. M∪P kümesini bulalım.
Çözüm: M∪ P = {m, n} ∪ { } = {m, n} olur.
Bir kümenin boş kümeyle birleşimi, o kümeye eşittir.
Örnek: A = {1, 2, 3} kümesine eşit olan B kümesini yazalım.
Çözüm: Eşit olan kümeler aynı elemanlardan oluşacağından,
B = {1, 2, 3} olur.
Örnek: K = {x, y, z} olsun K ∪ K kümesini bulalım.
Çözüm: K∪ K= {x, y, z} ∪ {x, y, z}
= {x, y, z} olur.
Bir kümenin kendisi ile birleşimi, o kümenin kendisine eşittir.
Kümelerde Kesişim İşlemi ve Özellikleri
Örnek: A = {1, 2, 3, 4} ve B = {4, 3, 5, 6} kümelerinin ortak olan elemanlarını bulalım:
Çözüm: Bu elemanları küme olarak {3, 4} şeklinde gösterebiliriz.
Bulduğumuz bu küme, A ve B kümelerinin kesişimidir.
İki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu küme, bu kümelerin kesişim kümesidir. Kesişim işlemi “∩” ile gösterilir. A ve B gibi iki kümenin kesişimi sembolle “A ∩ B” biçiminde gösterilir, “A kesişim B” diye okunur
Örnek: A = {a, b, c} ve B = {e, f} kümeleri verilsin. A∩ B kümesini bulalım:
Çözüm: A ∩ B = {a, b, c} ∩ {e, f}= Ø olur.
Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir.
Ayrık kümelerin kesişim kümesi boş kümedir.
Örnek: Yandaki şemaya göre K∩L kümesini bulalım.
Çözüm: K ve L kümelerinin ortak elemanlarının bulunduğu bölgeyi yukarıda boyalı gösterdik.
Buna göre K∩L = {4, 7} olur.
Sembol
kesişim işlemi, “ ∩ ”
Örnek: Aşağıdaki şemaya göre A, B ve A∩B kümelerini bulalım.
Çözüm: Şemaya göre; A = {4, 8},
B = {2, 4, 8, 7, 9, 11},
A∩B = {4, 8} ’dir.
Örnek: L = {s, t, u} ve K = { k, t, p, s} kümeleri veriliyor.
L∩K ve K∩L kümelerini bulalım.
Bu kümeleri karşılaştıralım.
Çözüm: L∩K = {s, t, u} ∩{k, t, p, s} = {s, t} olur.
K∩L = {k, t, p, s} ∩{s, t, u} = {t, s} olur.
Buradan,L∩K = K∩L olduğu görülür.
Kümelerde kesişim işleminin değişme özelliği vardır.
Örnek: A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 6} ve C = {4, 5, 6} kümeleri verilsin.
A∩(B∩C) ve (A∩B)∩C kümelerini bulalım.
Çözüm: Önce A, B, C kümelerini Venn şemasıyla gösterelim:
A∩(B∩C) = {1, 2, 3, 4} ∩ ({2, 3, 4, 6} ∩ {4, 5, 6})
= {1, 2, 3, 4} ∩ {4, 6}= {4} olur.
(A∩B)∩C = ({1, 2, 3, 4} ∩ {2, 3, 4, 6}) ∩ {4, 5, 6}
= {2, 3, 4} ∩ {4, 5, 6}= {4} olur.
Buradan, A∩(B∩C) = (A∩B)∩C olduğu görülür.
Kümelerde kesişim işleminin birleşme özelliği vardır.
Örnek: Aşağıdaki şemaya göre s(A), s(B), s(A ∩ B)
ve s(A ∪ B) değerlerini bulalım.
Çözüm: A = {a, b, c, d, e} olduğundan s(A) = 5’tir.
B = {1, 2, 3, a, b, c} olduğundan s(B) = 6’dır.
A∩B ={a, b, c} olup s(A ∩B)= 3’tür.
A∪B ={a, b, c, d, e, 1, 2, 3} olup s(A∪B)= 8’dir.
al bakalım ama bunlara çalışarak yap yoksa hayatın boyunca hep böyle geçer bunu sakın unutma başarılar dilerim
Adım adım açıklama: en iyi seçer misin tşk
