Sigma cebiri nedir ya soruları lazım
. Olayların Olasılığı
Şimdiye kadar, olayların sadece tanımlarına ve özeliklerine baktık – bazı
olayların gerçekleşme olasılığı çok düşükken (örneğin Schwarzenegger‟in 44ncü
başkan olarak seçilmesi gibi) bazılarının gerçekleşmesi nispeten kesindir- ancak
olayların olasılıkları, yani olayların örneklem uzayının kalanına göre gerçekleşme
ihtimali, hakkında hiçbir şey söylemedik.
Biçimsel olarak, P olasılığı S
1
‟deki = {A1, A2, …} olaylar yığınından reel sayılara
giden bir fonksiyon olarak tanımlanır.
.
Kullanışlı bir olasılık tanımı yapabilmek için, her hangi bir olasılık fonksiyonu P‟nin
aşağıdaki aksiyomları sağlamasını bekleriz:
(P1) Herhangi bir A için P(A) 0
(P2) P(S) = 1, - yani “kesinlikle bir şey olacak”
(P3) Ayrık A1, A2, …, kümelerinin herhangi bir dizisi için
Matematiksel bir not olarak, bu aksiyomların (ve sonraki derste P(A)‟nın özelliklerinin
türetimlerinin) bir anlam ifade edebilmesi için yığını S‟yi ve onun elemanlarının
tümleyenleri ile birleşimlerini içermek zorundadır. Bu, bir önceki sayfada dipnotta
1
Olasılığın tutarlı bir tanımı için, olaylar grubu aşağıdaki özelikler sahip olmak zorundadır
(S1) S
(S2) Eğer A ise, o zaman onun tümleyeni A
C
(S3) Herhangi sayılabilir A1, A2…. olayların birleşimi ‟dir, yani A1 A2 …
Bu olaylar yığınına S‟nin sigma-cebiri olarak adlandırılır. Bu dersin amacı için, bu önemli değildir, ve
eldeki sorunun bu tür aksiyomlara uygunu olduğu gerçeğini veri olarak kabul edeceğiz.açıkladığımız sigma-cebirdir. Bu ders için, bu özellikleri daha fazla üzerinde tartışmadan
verilmiş kabul edeceğiz.
Tanım 1. Bir örneklem uzayı S üzerinden tanımlanan bir olasılık dağılımı (P1) –(P3)
aksiyomlarını sağlayan P(A) ile gösterilen bir sayılar yığınıdır.
P(1)-P(3) aksiyomlarının olaylara bir tek olasılık atamadığına dikkat ediniz. Onun
yerine, bu aksiyomlar sadece olasılığın ne olması gerektiği konusunda sezgilerle tutarlı
bir şekilde herhangi bir olasılık dağılımının sağlaması gereken minimum koşulları
verirler(gerçekte bunu aşağıda kontrol edeceğiz). Prensipte, bu özelikleri sağlayan
herhangi bir P(.) fonksiyonu geçerli bir olasılık oluşturur, fakat bunun eldeki rasgele
deneyin iyi bir açıklaması olup olmadığını anlamak için özelikleri ayrı ayrı görmek
zorundayız. Bu her zaman zor bir sorudur. Bu dersin 5. bölümünde (Özel Dağılımlar),
belli standart durumlar için bazı popüler P(.) seçimlerini tartışacağız.
2.Olasılığın Bazı Özelikleri
Şimdi, P(1)-P(3) aksiyomlarının gerçekten de olasılık fonksiyonumuzun sezgisel
olarak beklediğimiz özeliklere sahip olmasını sağladığından emin olmak için yeterli
olduğu konusunda kendimizi ikna etmemiz gerekiyor. Sezgisel olarak fonksiyonun şu
özeliklere sahip olmasını bekleriz: (1) Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının
toplamı bir olmalı, (2) imkânsız olayın, , gerçekleşme olasılığı sıfır olmalı, (3) Eğer A
olayı B olayını içeriyorsa, B olayının olasılığı P(A)‟dan büyük olamamalı, ve (4) herhangi
bir olayın olasılığı [0,1] aralığında yer almalı. Şimdi, temel aksiyomları kullanarak bu
özelikleri ispatlayalım.
Önerme 1.
P(A
C
) = 1 – P(A)
ISPAT: Tümleyen A
C
tanımına göre,
burada son adımda A A
C
= kullanılmaktadır, yani A ve onun tümleyeni ayrıktır. Bunu
yeniden düzenlediğimizde,
P(A
C
) = 1- P(A)
elde ederiz. Zaten göstermeye çalıştığımız da budur.Önerme 2
P( ) = 0
ISPAT:
C
= S olduğu için, önceki önermeyi kullanarak
olduğunu gösterebiliriz.
Önerme 3. Eğer B A ise, o zaman P(B) P(A)‟dır.
Dipnot olarak, bu kural sezgisel görünmesine rağmen, bilişsel psikologlar
insanların günlük olasılık muhakemesi içinde bu kuralı sık sık bozduklarını keşfettiler
2
.
İSPAT: Olasılık aksiyomlarını kullanabilmek için, A olayını birleşim ve kesişim
özelliklerini kullanarak bölüntülere ayırmak yararlı olacaktır.
Burada, son adımda B A ise kullanılmıştır. (P3) aksiyomunu
kullanabilmek için B ile
nin ayrık olduğuna dikkat etmek gerekir.
Dolayısıyla, aksiyom P(1)‟i kullanarak
sonucuna ulaşırız.
Önerme 4: Herhangi, bir A olayı için 0 P(A) .
İSPAT: 0 P(A) aksiyom (P1)‟dir. İkinci eşitlik için, (P1) aynı zamanda P(
) 0‟i
sağlar.
Dolaysıyla önerme 1‟e göre
2
Örneğin, Daniel Kahneman ve Amos Tversky tarafından yapılan bir çalışmada birkaç kişi Linda‟nın
tarifini aşağıdaki gibi veriyorlardı:
Linda 31 yaşındadır, bekardır, gevezedir, ve çok zekidir. Felsefe eğitimi aldı. Öğrenci iken, ayırımcılık ve
sosyal adalet konularıyla çok derinden ilgilenirdi ve aynı zamanda nükleer karşıtı gösterilere de katılırdı.
Linda‟nın bir gişe memuru olma olasılığı sorulan kişiler, onun feminist bir gişe memuru olma olasılığı
sorulan kişilere göre daha düşük değerler verme eğilimindeydiler. P(A) = 1- P(
) 1
Önerme 5
İSPAT: Önerme 3‟te olduğu gibi Olay A ve B‟yi bölümlere ayırabiliriz.
Aynı şekilde,
Bunların bölüntü olduğu kolayca kontrol edilebilir. Yani kümelerin her bir çifti ayrıktır.
Dolayısıyla aksiyom (P3) kullanılarak görüleceği gibi
(
)
ve
Dolaysıyla, ,
ile
‟nin bölüntüsü olduğu için (P3)
kullanılarak (şekil 1 söz konusu fikrin grafiksel gösterimini vermektedir)
[
]
Son denklemin yeniden düzenlenmesi istenen sonucu verir.
Matematiksel bir not olarak, bu aksiyomların (ve sonraki derste P(A)‟nın özelliklerinin
bir anlam ifade edebilmesi için yığını S‟yi ve onun elemanlarının
tümleyenleri ile birleşimlerini içermek zorundadır. Bu, bir önceki sayfada dipnotta
1
Olasılığın tutarlı bir tanımı için, olaylar grubu aşağıdaki özelikler sahip olmak zorundadır
(S1) S
(S2) Eğer A ise, o zaman onun tümleyeni A
C
(S3) Herhangi sayılabilir A1, A2…. olayların birleşimi ‟dir, yani A1 A2 …
Bu olaylar yığınına S‟nin sigma-cebiri olarak adlandırılır. Bu dersin amacı için, bu önemli değildir, ve
eldeki sorunun bu tür aksiyomlara uygunu olduğu gerçeğini veri olarak kabul edeceğiz.açıkladığımız sigma-cebirdir.
