ikinci dereceden denklemler soru ve çözümleri ile birlikte.
SORU 1:
x²+(x₁+4)x-8x₂=0 denkleminin kökleri sıfırdan farklı olan x₁ ve x₂ sayılarıdır.
Buna göre, denklemin x₂ kökü kaçtır ?
ÇÖZÜM 1:
x₁.x₂=c/a=-8x₂
x₁+x₂=-b/a=-(x₁+4)
x₂=-2x₁-4
x₂=12 bulunur.
———————————————————————–
SORU 2:
x²-7x+m-3=0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir.
2x₁-x₂=5 olduğuna göre m=?
ÇÖZÜM 2:
x₁+x₂=-b/a=7
2x₁-x₂=5
x₁+x₂=7
+__________________
x₁=4 bulunur. bulunan kök denklemi sağlayacağından yerine yazarsak;
4²-7.4+m-3=0=>m=15 bulunur.
———————————————————————————–
SORU 3:
2x²+3x+5=0 denkleminin çözüm kümesi nedir ?
ÇÖZÜM 3:
Delta=b²-4ac olduğundan
=9-4.2.5=-31 olduğundan delta<0 çıktı o zaman gerçek kök yoktur. Çözüm kümesi boş kümedir.
——————————————————————————-
SORU 4:
x²-ax-3a=0
denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir.
x₁+x₂=4 olduğuna göre x₁.x₂ değeri kaçtır ?
ÇÖZÜM 4:
x²-ax-3a=0
x₁+x₂=-b/a olduğundan
x₁+x₂=a=>a=4
x²-4a-12=0 olur.
x₁.x₂=c/a=>x₁.x₂=-12 bulunur.
————————————————————————————
SORU 5:
2x²-4x+m2+n2=0 denkleminin kökleri m ve n ise diskiriminantı kaçtır?(0) ÇÖZÜM 5:2x²-4x+m²+n²=0
m.n=(m²+n²)/2
(m²+n²)=2mn
m+n=2 olduğu görülüyor.
(m+n)²=2mn+2mn
4mn=4
mn=1
yerine yazarsak
2x²-4x+2=0
x²-2x+1=0 ifadesi tek köke sahiptir dolayısıyla delta=0 olur.
————————————————————————————– SORU 6: x²-6x-8=0 denkleminin her bir kökünün 2 fazlası kök kabul eden denklem nedi ? ÇÖZÜM 6: kökler a,b olsunSORU 7:
2x²+px+q=0 denkleminin kökleri iki ardışık tamsayıdır. Buna göre p ile q arasındaki bağıntı nedir? ÇÖZÜM 7:2x²+px+q=0
birinci kökü x olsun diğeri de x+1 olur.
kökler toplamı
2x+1=-p/2
kökler çarpımı
x(x+1)=q/2 olur.
bir tanesinde x’i çekelim
2x+1=-p/2
2x=-p/2-1
x=-p/2-1/2 bunu da diğer denklem de yerine yazarsak
x(x+1)=q/2 olduğundan
[(-p-1)/2].((-p-1)/2+1))=q
p²-1=4q
p²-4q-1=0 bulunur.
————————————————————————
SORU 8: 3x²-4x+m-1=0 ve 6x²+x+2m+7=0 denklemlerinin birer kökü ortak ise m=? ÇÖZÜM 8:1. denklemi 2 ile çarpalım:
2.(3x²-4x+m-1)=0
6x²-8x+2m-2=0 bu denklemi 2. denklemle eşitlersek
6x²-8x+2m-2=6x²+x+2m+7
-8x-2=7+x
-9x=9
x=-1 ortak kök bunu 2. denklemde yerine yazalım.
6-1+2m+7=0
2m=-12
m=-6 bulunur.
———————————————————————————–
SORU 9: 3x²-ax+27=0 denkleminin kökleri x₁ve x₂dir.(√x₁- √x₂+ 2)/√x₁=0
x₁-√x₁.x₂+2=0
√x₁.x₂=x₁+2
x₁.x₂=(x₁+2)²
denklemde kökler çarpımı 9 olarak verilmiş
(x₁+2)²=9
x₁+2=±3
x₁=-5,1
x₁.x₂=(x₁+2)² olduğuna göre,
-5x₂=9
x₂=-9/5 ya da
x₂=9 ise
x₁+x₂=10 ya da 36/5 olur.
———————————————————————————–
SORU 10: x²+ax+a+1=0kökler toplamı =x₁+x₂=-a
kökler çarpımı=>x₁.x₂=(a+1)
kökler farkı =>x₁-x₂=1 olarak verilmiş
(x₁+x₂)²=x₁²+x₂²+2x₁x₂=a² (Toplamın karesini aldık)
x₁²+x₂²+2(1+a)=a²
x₁²+x₂²=a²+2a+2
(x₁-x₂)²=x₁²+x₂²+2x₁.x₂=1 (Farkın karesini aldık)
a²+2a+2+2(1+a)=1
a²+4a+3=0
denkleme göre kökler çarpımı 3′tür.
SORU 11:
x²+(m-3)x+n-2=0 denklemin kökleri x₁ ve x₂ dir.x₁2-x₂2=5 ve x₁-x₂=1 olduğuna göre m,n ikilisi nedir? ÇÖZÜM 11: x²+(m-3)x+n-2=0x₁²-x₂²=5 ve x₁-x₂=1 ise
x₁²-x₂²=(x₁-x₂).(x₁+x₂)=1.(x₁+x₂)=5
x₁+x₂=5
denkleme göre kökler toplamı: -(m-3)=-m+3=3-m olur
x₁+x₂=3-m=5 ise m=-2 bulunur.
Elimizde 2 tane 2 bilinmeyeli denklem oldu.
(x₁+x₂)=5
(x₁-x₂)=1
+________
2x₁=6
x₁=3
x₂=2
x₁.x₂=6 olur.
x₁.x₂=n-2=6 ise
n=8 olur (m,n)=(-2,8) bulunur.
SORU 12:
3x²-5x-7=0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir.
kökleri (1/x₁)+(1/x₂) olan denklemi yazınız.
ÇÖZÜM 12:
Burada şu özelliği kullanacağım:
Bu şekilde kökler eğer ki çarpmaya göre tersi şeklinde verilmişse;
ax²+bx+c=0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise
-cx²-bx-c=0 denkleminin kökleri de 1/x₁ ve 1/x₂ olur.
Buna göre denklemimiz. 7x²+5x-3=0 olur.