BAĞINTI-KARTEZYEN ÇARPIMSıralı İkiliHerhangi iki x ve y elemanını (x,y) biçiminde yazmaya sıralı ikili yada ikili denir.a’ya sıralı ikilinin birinci bileşeni, b’ye sıralı ikilinin ikinci bileşeni denir.(a,b) ≠ (b,a) Yer değiştiğinde eşit olmaz.(a,b)=(c,d) Burada a=c ve b=d olur.Örnek: (2x-1,3+y)=(5+x,-7-y) ise x+y=?2x-1=5+x buradan x=6 olur.3+y=-7-y buradan 2y=-10 yani y= -5 olur.Kartezyen ÇarpımA ve B kümeleri için, birinci bileşen A’dan, ikinci bileşen B’den alınarak oluşturulacak tüm sıralı ikililerin kümesine A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı yani kartezyen çarpım denir.AxB ile gösterilir.AxB={(x,y)│xϵA ˄ yϵB}Örnek: A={1,2,3} B={a,b}AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}Kartezyen Çarpımın Eleman Sayısıs(AxB)= s(BxA)= s(A). s(B)s(AxA)= s(A). s(A)Örnek: A={1,2} B={a,b}AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}s(AxB)=s(A). s(B)=2.2=4Örnek: A={1,2,3} AxB={(1,1),(1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}s(AxA)= s(A). s(A)=3.3=9 Kartezyen Çarpımın Özellikleri1)AxB≠BxA değişme özelliği yok.2) (AxB)xC=Ax(BxC)= AxBxC birleşme özelliği var.3) Ax(BUC)= (AxB)U(AxC) U işlemi üzerine dağılma özelliği var.4) Ax(B∩C)= (AxB)∩(AxC) ∩ işlemi üzerine dağılma özelliği var.BağıntıA ve B herhangi iki küme olsun.AxB nin her β alt kümesine A’dan B’ye bağıntı denir. A’dan B’ye bağıntı sayısı, AxB nin alt küme sayısına eşittir.s(A)=n s(B)=m ise s(AxB)= n.mO zaman A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı 2n.m dir.Örnek: A={1,2} B={a,b}AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}s(AxB)=s(A). s(B)=2.2=4Kartezyen çarpımın her alt kümesi A’dan B’ye bir bağıntıdır. Bu bağıntılardan bazıları şöyledir.β1={(1,a),(2,a)}β2={(1,a),(2,a),(1,b)}β3={(2,b)}Bu şekilde AxB’nin 24=16 tane alt kümesi vardır.Bunlardan herbiri,A’dan B’ye bir bağıntıdır.Yani 16 tane bağıntı yazılır.Bağıntının Tersiβ bağıntısındaki elamanların bileşenlerinin yerleri değiştirilerek elde edilen bağıntıya β bağıntısının tersi denir. β-1 ilegösterilir. β bağıntısı A’dan B’ye tanımlanan bağıntı iken, β-1bağıntısı B’den A’ya tanımlanan bağıntıdır.Örnek: A={3,5,7,8} kümesindeβ={(3,5),(7,8),(5,5)} bağıntısın tersiβ-1={(5,3),(8,7),(5,5)}Yansıma Özelliğiβ bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.Her xϵA için (x,x)ϵ β ise β bağıntısı yansıyandır.β bağıntısının yansıma özelliği vardır yada yansıyan bağıntıdır denir.Örnek: A={a,b,c} kümesi içinβ1={(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,c)} yansıma özelliği vardır.β2={(a,a),(a,c),(c,a),(c,c)} yansıma özelliği yoktur.Simetri Özelliğiβ bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.Her (x,y)ϵ β iken (y,x)ϵ β oluyorsa β bağıntısı simetriktir.β bağıntısının simetri özelliği vardır yada simetrik bağıntıdır denir.Örnek: A={a,b,c,d} kümesi içinβ1={(a,a),(a,c),(c,a)} simetriktir.β2={(a,d),(b,c),(c,b)} simetrik değildir.β simetrik bağıntı ise β= β-1β bağıntısının grafiği ile β-1 bağıntısının grafiği y=x doğrusunagöre simetriktir. Ters Simetri Özelliğiβ bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.x≠y için her (x,y)ϵ β iken (y,x) eleman değil β oluyorsa β bağıntısı ters simetriktir.β bağıntısının ters simetri özelliği vardır yada ters simetrik bağıntıdır denir.Bağıntıda (x,x) gibi aynı bileşenleri olan ikililer varsa bunlar ters simetri özelliğini bozmaz.Örnek: A={a,b,c,d} kümesi içinβ1={(a,c),(b,b),(c,d)} ters simetriktir.β2={(b,c),(a,a),(c,b),(a,d)} ters simetrik değildir.Geçişme Özelliğiβ bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.Her (x,y)ϵ β ve (y,z)ϵ β iken (x,z)ϵ β oluyorsa β bağıntısı geçişkendir.β bağıntısının geçişme özelliği vardır yada geçişken bağıntıdır denir.Bir tek ikiliden oluşan bağıntı daima geçişkendir.Örnek: A={a,b,c,d} kümesi içinβ1={(a,b),(b,c),(a,c)(c,a)} geçişken değildir.β2={(a,d),(d,a),(a,a)} geçişkendir.Örnek: A={1,2,3} kümesi üzerinde tanımlı bazı bağıntılar verilmiştir.
