fiboacci sayıları,altın oran ve pascal üçgeni ile ilgili bilgiler bulup yazar mısınız(açıkça).
1-
Fibonacci dizisi, her sayının kendinden öncekiyle toplanması sonucu oluşan sayı dizisi. Bu şekilde devam eden bu dizide sayılar birbirleriyle oranlandığında altın oran ortaya çıkar, yani bir sayı kendisinden önceki sayıya bölündüğünde altın orana gittikçe yaklaşan bir dizi elde edilir. Bu durumda genel olarak n'inci Fibonacci sayısı F(n) şu şekilde ifade edilir:
Bu da bir Fibonacci dizisidir:4, 7, 11, 18, 29, 47, … Çünkü Fibonacci dizisi herhangi iki sayıdan başlayabilir.
Fibonacci sayı dizisindeki sayıların birbirleriyle oranı olan ve altın oran denilen 1,618 sayısı ise doğada, sanatta ve hayatın her alanında görülen ve estetik ile bağdaştırılan bir sayıdır.
2-
Altın oran, matematik ve sanatta, bir bütünün parçaları arasında gözlemlenen, uyum açısından en yetkin boyutları verdiği sanılan geometrik ve sayısal bir oran bağıntısıdır.
Eski Mısırlılar ve Yunanlılar tarafından keşfedilmiş, mimaride ve sanatta kullanılmıştır.
Altın Oran; CB / AC = AB / CB = 1,618
Bir doğru parçasının (AB) Altın Oran'a uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerektiğinde, bu doğru öyle bir noktadan (C) bölünmelidir ki; küçük parçanın (AC) büyük parçaya (CB) oranı, büyük parçanın (CB) bütün doğruya (AB) oranına eşit olsun.
Altın Oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı; 1,618033988749894...'tür. -noktadan sonraki ilk 15 basamak- Bu oranın kısaca gösterimi: olur. Altın Oranın ifade edilmesi için kullanılan sembol, Fi yani Φ'dir.
3-
Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır. Ömer Hayyam tarafından oluşturulmuştur. Genellikle Pascal üçgeninin satırları üstten n=0'dan başlayarak numaralandırılır ve her satırdaki sayılar ise soldan itibaren k=0'dan başlayarak numaralandırılırlar. Satırdaki sayılar komşu sütunlarının boşluklarına gelir ve bu basit yapı tüm üçgen boyunca sürer. 0. satıra yalnızca 4 değeri yazılır. Sonraki satırlar oluşturulurken, hesaplanan noktanın sol üstünde ve sağ üstünde bulunan değerler çıkarılır. Eğer sağ ve sol üsttünde sayı yoksa buradaki değer 1 olarak alınır. Örneğin, ilk satırın ilk sayısı 0 + 1 = 1'dir üçüncü satırda ise 4 ve 3 toplanarak 4. satırdaki 7 sayısını oluşturur.
Pascal kuralındaki binom katsayılarıyla ilişkili yapı aşağıdaki şekildeyse,
buradan
olur.
Burada n negatif olmayan tam sayı ve k 0 ile n arasında bir tam sayıdır.
Pascal üçgeninin çok boyutlu şekilleri de vardır. 3 boyutlu olan şekli Pascal piramidi veya Paskal dörtyüzlüsü olarak anılırken diğer genel şekilli olanları Pascal basitleştirilmişleri olarak anılır.
Üçgendeki her sayı üst taraftaki iki sayının toplanmasıyla elde ediliyor.
Pascal'ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da ustalıkla kullanılır. Bu üçgen, biyolojideki uygulamalar, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik konularında uygulama alanı bulur. (Bazı kaynaklara göre eski Çinliler de üçgeni tanımışlar; bazıları da Pascal üçgeni diye aslında bir Hayyam üçgeninden bahsetmişlerdir.)
Olasılıklar kuramının çıkış nedeni, Pascal'a kumarbaz Chevalier de Mere tarafından önerilmesiydi. En önemli görevi de elli iki kâğıt oyunu oynuyordu. Bu ara tavla zarlarının, şekilleri aynı olan ayrı renkli bilyelerin önemi büyüktür. Buna bağlı olarak, ünlü Pascal üçgeni doğdu. Pascal'ın bu üçgeni, daha sonraki yıllarda çok kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunur.
Formül, olmak üzere
Örneğin
üçgen sayılar
ikinci sıradan itibaren sağdan ya da soldan üçüncü sayı üçgen sayılardır
ikinin üsleri
pascal üçgeninin her satırı ikinin 0 dan itibaren üslerini verir
binom açılımı
(a-b) veya (a+b) parantezlerinin açılımının katsayılarını verir örnek:
yazı tura
kaç parayla yazı tura attıysak o satırla ilgilenecez iki parayla yazı tura attık ikinci sıradaki sayıları toplayalım 4 çıktı ikinci sıra 1-2-1 dir birinci sıradan 2 tura 0 yazı diye sayalım iki paranın ikisininde tura gelme sansı1tura 1yazı gelme sansı 2yazı gelme sansı
