(p=>q') => (p=>q) bileşik önermesinin en sade biçimi nedir ?
ANTIK Doğru ve sistemli düşünme kuralları bilgisidir. Terim: Bir bilim dalı içinde özel anlamı olan sözcüktür. Bazı terimler tanımlıdır, bazıları tanımsızdır. Ör: nokta, küme, … tanımsız terim. Açı, türev, … tanımlı terimdir. Önerme: Doğru ya da yanlış, bir kesin hüküm bildiren ama aynı anda hem doğru hem yanlış olmayan ifadedir. Genelde p, q, r, s, t, … ile gösterilir. Örneğin; p: “haftada yedi gün vardır”. Doğru önermedir. Doğruluk değeri 1 dir. q: “dünya küp şeklindedir”. Yanlış önermedir. Doğruluk değeri 0 dır. r: “bu gün hava çok güzel” ifadesi önerme değildir. Kesin hüküm bildirmez. s: “yavaş gidelim”. Bir istektir. Önerme değildir. t: “3+7=12” ifadesi yanlış önermedir. Doğruluk değeri 1 dir. Doğruluk değeri 1 olan önermeler D ile, 0 olan önermeler Y ile de gösterilebilir. Ör: iki ve üç önerme için doğruluk tablosu: Kural: n tane farklı önermenin doğruluk tablosunda 2n değişik durum oluşur. Ör: 5 farklı önermenin doğruluk tablosu kaç durumdan oluşur? Cevap: 32 Denk Önerme: Doğruluk değeri aynı olan iki önerme denk önermedir. Örnek: p: “Turizm geliri en fazla olan bölgemiz Marmara’dır” q: “4! = 24 tür” önermelerinin doğruluk değeri 1 olduğundan p≡q dur. Aynı durum yanlış önermeler için de söylenebilir. Önermenin Olumsuzu (Değili): Bir önermenin hükmü değiştirilerek elde edilen önermedir. Bir p önermesinin değili p’ ile veya farklı şekillerde gösterilir. Doğruluk tablosu ise yandaki gibidir. Bir önermenin değilinin değili kendisine denktir. Örnek: p: Adem’in saçları sarıdır” önermesinin değili; p’: “Adem’in saçları sarı değildir” şeklindedir. Önemli bir nokta şudur ki; “0 çift sayıdır” önermesinin değili (olumsuzu), “0 tek sayıdır” denemez. Değilinin doğru ifadesi “sıfır çift sayı değildir” olur. Bileşik Önerme: En az iki önermenin “ve” “veya” “ise” ancak ve ancak” gibi bağlaçlarla birbirine bağlanmasıyla oluşan önermelerdir. Veya: ile gösterilir. Veya bağlacında bileşenlerden birinin doğru olması bileşik önermenin doğru olması için yeterlidir. Ve bağlacı: ile gösterilir. Ve bağlacında değişkenlerin ikisi de doğru ise sonuç doğrudur. Ve Veya işleminin özellikleri bilinecek. (tek kuvvet, değişme, birleşme, dağılma). De Morgan kuralı bilinecek. pV(p q)=p p (pvq)=p pVqVr=pVrVq aynısı için de geçerli pVpVp=p aynısı için de geçerli İse bağlacı: ile gösterilir. Koşullu önerme de denir. p q bileşik önermesinde p hipotez, q hükümdür. p q ≡ p’ q özelliği vardır. Koşullu önermenin karşıtı, tersi karşıt tersi p => q nun karşıtı: q => p dir. p => q nun tersi: p’ => q’ dir. p => q nun karşıt tersi: q’ => p’ dir. (bunlarla ilgili örnekler iyice anlaşılmalıdır). Özellikler: p=>p=1 p=>0=p’ p=>p’=p’ p=>1=1 0=>p=1 1=>p=p Ancak ve ancak bağlacı: ile gösterilir. p<=>q ≡ (p=>q) (q=>p) şeklinde tanımlanabilir. İse bağlacı ile oluşturulan bileşik önermeye gerektirme denir. ancak ve ancak bağlacıyla oluşturulan bileşik önermeye çift gerektirme denir. Ayrıca bir bileşik önerme daima 0 değerini alıyorsa ona çelişki, daima 1 değerini alıyorsa totoloji denir. NOT: (p’=>q)’ <=> (pV1) … vs. tipinde soruların çözümü yapılırken izlenecek stratejiler nelerdir? i. =>, <=> bağlaçları ve, veya cinsinden açılır. ii. De Morgan varsa açılır. iii. Dağılma özelliği (ve, veya) uygulanır. iv. A 1 = A A 0 = 0 A 1 = 1 A 0 = ? durumları ile ise bağlacının özellikleri akıldan çıkarılmamalıdır. AKSİYOM: Doğruluğu ispatsız olarak kabul edilen önermeler. TEOREM: Doğruluğu ispatlanması gereken teorem. AÇIK ÖNERME: verilen bir ifadede en az bir değişken olacak ve doğruluk değeri bu değişkenin durumuna göre değişecek. Ör: p(x): x2 ≤ 5 önermesi, bazı sayılar için doğru, bazı sayılar için yanlıştır. < ün değili ≥, > ün değili ≤ tir. = in değili ≠ dir. NİCELEYİCİLER: bazı ve her sözcükleridir. Bazı; ile, her; ile gösterilir. Her in değili bazı dır, bazı nın değili her dir. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) p q 1 1 1 0 0 1 0 0 p q r 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 p p’ 1 0 0 1 p q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 p q p q
